חוג תורשתי

בתורת החוגים, חוג תורשתי (שמאלי) הוא חוג שבו פרויקטיביות עוברת בתורשה ממודול (שמאלי) לכל תת-מודול.

לדוגמה, כל תחום דדקינד הוא תורשתי. בפרט, כל תחום ראשי (ובמקרה הלא-קומוטטיבי, אף תחום שכל אידיאל שמאלי שלו הוא ראשי) הוא תורשתי. לעומת זאת החוג $F[x,y]$ של פולינומים בשני משתנים מעל שדה אינו תורשתי.

תנאים שקולים לתורשתיות

התנאים הבאים שקולים לכך שהחוג תורשתי (שמאלי):

1. כל תת-מודול של מודול פרויקטיבי הוא פרויקטיבי.
2. כל אידיאל שמאלי הוא פרויקטיבי (העובדה שזהו תנאי מספיק היא משפט שהוכיח מוריץ אוסלדנר).
3. כל מודול מנה של מודול אינג'קטיבי הוא אינג'קטיבי.
4. כל מודול הוא מנה של מודולים פרויקטיביים.
5. כל מודול הוא גרעין של אפימורפיזם בין מודולים אינג'קטיביים.
6. הפונקטור הנגזר $\operatorname {Ext} _{R}^{2}$ שווה לאפס.

ימין-שמאל

בדרך כלל, תורשתיות אינה סימטרית להחלפת ימין שמאל: יש חוגים תורשתיים שמאליים עם מודולים פרויקטיביים ימניים, שיש להם תת-מודולים שאינם פרויקטיביים (את הדוגמה הראשונה מסוג זה נתן קפלנסקי ב-1958). עם זאת, חוג פרימרי-למחצה (כלומר מקומי למחצה עם רדיקל ג'ייקובסון נילפוטנטי) הוא תורשתי שמאלי אם ורק אם הוא תורשתי ימני. בדומה לזה, עבור חוגים נתריים, תורשתיות משמאל ומימין שקולות זו לזו.

תכונות קרובות

חוג שמעליו כל תת-מודול נוצר סופית של מודול פרויקטיבי (שמאלי) הוא פרויקטיבי, נקרא תורשתי למחצה (שמאלי). כדי לקיים תכונה זו, די בכך שכל אידיאל (שמאלי) נוצר סופית של החוג הוא פרויקטיבי. מעל חוג תורשתי למחצה, כל תת-מודול של מודול שטוח (ימני או שמאלי) הוא שטוח. בעוד שמעל כל חוג, כל מודול פרויקטיבי איזומורפי לסכום ישר של מודולים פרויקטיביים נוצרים-מנייתית, מעל חוג תורשתי למחצה כל מודול פרויקטיבי איזומורפי לסכום ישר של אידיאלים שמאליים נוצרים סופית. כל חוג פון-נוימן רגולרי הוא תורשתי למחצה. תחום שלמות תורשתי למחצה נקרא תחום פרופר.

חוג הוא תורשתי למחצה חלש אם לכל שרשרת של העתקות $P{\stackrel {\alpha }{\rightarrow }}Q{\stackrel {\beta }{\rightarrow }}P'$ בין מודולים פרויקטיביים נוצרים סופית, שהרכבתה אפס, אפשר לפרק $Q=Q'\oplus Q''$ כאשר $\operatorname {im} \alpha \subseteq Q'\subseteq \operatorname {ker} \beta$. כל חוג תורשתי למחצה הוא תורשתי למחצה חלש, ותנאי זה האחרון הוא סימטרי להחלפת ימין ושמאל.

אידיאל $I$ של $R$ הוא אידיאל תורשתי אם $I^{2}=I$, $I\cdot J(R)\cdot I=0$, ו-$I$ פרויקטיבי כמודול (שמאלי או ימני - התנאים שקולים) מעל $A$. חוג פרימרי-למחצה $R$ הוא קוואזי-תורשתי אם יש בו שרשרת של אידיאלים $I_{0}\subset I_{1}\subset \cdots \subset I_{k-1}\subset I_{k}=R$ כך שלכל $i$, $I_{i+1}/I_{i}$ הוא אידיאל תורשתי של $R/I_{i}$. הדוגמה הראשונה לתכונה זו (שהוגדרה ב-1989) היא אלגברת שור של ההצגות ההומוגניות של $\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )$.

חוג שמעליו כל אידיאל שמאלי ראשי הוא פרויקטיבי, נקרא חוג ריקארטי . כמובן, כל חוג תורשתי הוא תורשתי למחצה, וכל חוג תורשתי למחצה הוא ריקארטי. חוג הוא תורשתי למחצה אם ורק אם כל חוגי המטריצות מעליו הם ריקארטיים, ותורשתי אם ורק אם כל חוגי האנדומורפיזמים של מודולים חופשיים מעליו הם ריקארטיים.

מקורות

• What is a hereditary algebra?, C.M. Ringel, [1].